实际上这一篇并不是顺着常微分方程来写的，只是今天突击电路分析的时候反应过来了一些有趣的事情。遂记录。
这里我们先只讨论一阶和二阶的常微分方程。高等数学中其实有过很详细的阐述，但是由于当时考试要求等等原因，其实没有特别关心这块的内容，只是简单的背下来了。
对于一阶的常微分方程：
由常数变易法，可知其完全解为：
这个式子，我就没怎么背下来过。都是快考试的时候再背，因为我知道只要把微分方程调整成上面的形式，依次带入$Q(x),P(x)$就好了。我当时就很好奇，为什么$Q(x)$要被放到等号另一边。
首先我们生硬的把特征根和特征向量引入进来，但是由于我们只研究一阶和二阶，所以不会有特征向量什么事。实际上的原理是指数函数$e^x$在微分运算前后有不变性。即只有指数函数具有微分前后形式不变只相差一定倍数的现象，所以采用这个假设。
如果考虑$Q(x)=0$，那么即有$r+P=0$，所以通解为$y_h=Ce^{-\int{P\left( x \right) \mathrm{d}x}}$。下面在找一个特解，那么由线性代数理论，所有的解都可以表示出来了。
那么由常数变易法，一顿推导就能得出一个特解为：
上面就是同济绿皮里的做法，实际上他把一些很有意思的点略过了。例如$P,Q$的意义。当然如果只以常微分方程来看，他俩没有什么意义，只是个符号。我们考虑这样的特殊情形，$P,Q$都是常数：
这个式子的意思说：对于$y$，它的变化率加上$P$倍的$y$，等于一个值$Q$。此时的解可以直接将上面的式子写开：$y_h=Ce^{-P\cdot x}$,$y_p=\frac{Q}{P}$。当$Q=0$时，我们先只考虑$P>0$的时候，那样$y$往往要以负指数形式衰减来满足等号。当$Q \ne 0$时，解中多了$y_p$。其中常数$C$由初始值确定。
在上面所说的情况下，随着$x$的增加，$y_h$最终会不可避免的变成0，$y_p$会一直是一个常数，它们中$y_p$可以描述稳定状态，$y_h$可以描述暂态响应。
现在其实就呼之欲出了，我们把$P$换成响应的时常数的倒数，$Q$换成激励源。这样看来，把$Q$放在右边的这一举动变得非常的和谐。
包括现在再看，时常数也不会记混了。因为动态元件是电容时，往往是利用电容的微分性质表达电流的时间规律。而$y$代表电压，为了把电压变电流，需要分母扔个$R$，再把微分项整理成1，就变成了$1/RC$。是电感时，$y$表示电流，$dy/dt$在计算电压，那么$y$往往会带着$R$，$R/L$即为$1/\tau$
注意，上面给的是$1/\tau$。这样写是为了和后面的公式对上，书上有时勘误会把$1/\tau$和$\tau$整错。
如果被问及时常数$\tau$，对于一阶含容电路即为$RC$，对于一阶电感电路即为$L/R$。时常数的量纲应为时间。
现在我们将初始值考虑进去，一阶电路的响应即可写成：
所以我们只需要知道初始值，以及特解$y_p$即可。当直流激励时，特解是个常数，进一步可以得到：
这就是三要素公式，有意义的是，当给出一个一阶电路方程时，实际上对于直流激励，它的特解形式就是常数$A$，而通解用特征根一套就出来，再用初始值确定一下$C$。忘记三要素时这么做，也不用背拉格朗日变易法的结论，因为此时$P,Q$都是常数。当$P<0$时，说明时常数是负的，一般是含受控源的原因，这种时候电路不存在稳态响应，考试也不会出现。
实际上对于电路分析基础，上面就已经是全部了。如果激励是正弦式的，那么有后面的相量法来简化求解微分方程。
通过上面的式子也可以看出，完全响应可以拆成暂态响应和稳态响应。同样也可以被拆成零输入响应和零状态响应，这两者只需要指的其实就是不同的初始值和不同的$Q$（激励）。
计算时要注意电流和电压的关联参考方向，放电阶段电感和电容相当于电流源和电压源。它们的方向应该是非关联的。这点要在符号中体现出来。我们下面找一道例题：
$t=0$时开关闭合，在此前电路已经达到稳态。求$t>0$时的电压$u(t)$。图中既有电容也有电感，我们一步一步看。
首先$t<0$时开关断开，电容断路，开关断开，电感无电流通过。此时只有电流源和两个电阻串联形成的电路。那么结合换路定理：
所以当闭合瞬间，$u(0_{+})=u_C(0_{+})+1\mathrm{A}\cdot 6\Omega = 16 \mathrm{V}$。闭合后的电路可以看成电感和电阻并联，电容再和电阻并联，最后两者串联。它们对于$u(t)$的响应是线性可加的。那么陆续计算这两个结构的时常数：
初始值及稳定值为：
那么直接由一阶直流激励的响应公式（三要素）可得：
如果强行写成一个二阶的微分方程，也是可以的。但确实没有必要。什么？如果你和我当时一样觉得这样直接拆开等效不合适？没关系，那这样做就好了。
根据$KCL$以及电容和电感的微分式，闭合后的电流为：
那么可以得到两个一阶的方程：
结果是一样的。
