本篇记录一些信号与系统中的练习题来备考。“大梦一场三千载，悲喜穿肠莫挂怀。大风翕张浪形骸，疏狂放歌死便埋。”
①已知某LTI连续系统的系统函数为$H\left( s \right) =\frac{s^2}{s^2+2s+1}$ ，其输入激励为$f(t)=\varepsilon \left( t \right) $ ，系统的初始状态为$y\left( 0_- \right) =0,y’\left( 0_- \right) =2$ 。求系统的零输入响应，零状态响应。
解：实际上，我们可以用变换域的方法直接求出全响应，但这样有时并不方便，因为当初始值不为0时，进行拉普拉斯变换容易写错，最安全的做法是用时域方法求解零输入响应，用变换域方法求解零状态响应。
我们观察系统函数，直接写出系统的微分方程：
求解零输入响应，有的同学像我一样经常记不住通解的形式，尤其是共轭时的情况，其实可以现场推出来，只需设$y=e^{rx}$即可，之后用欧拉公式即可得共轭复根的情况。这里用不到，只是说一下。
然后我们用变换域的方法求零状态响应：
如果不能直接写出原函数也没有关系，我们借助部分分式展开来给我们启示：
在这里，求留数时不用求导的那个系数对应分母最高次项的那个。前者很好写，后者带个平方。由$s$域微分性质（这些非时域的微分性质往往会带个负号）：
注意这里分母作链式法则也会出一个负号，那么零状态响应即为：
②已知$f\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{jnt}}$ ，$s(t)=\mathrm{cos}(t)$ 。低通滤波器的频率响应为：
求系统响应$y(t)$ 。
解：这个题实际上开了个玩笑，上述是一个载波调制的基本雏形，但是这里的$s(t)$作用与否不影响结果，当然是因为这是理想状态，首先对于$f(t)$，它天然就是一个傅里叶级数，$F_n =1$，根据周期信号的傅里叶变换：
这里$\varOmega =1$，然后啊，如果乘一个$\mathrm{cos}(t)$ ，那么根据傅里叶变换的性质：
可是你看那个无穷级数，这样整体乘二分之一，左移一位再右移一位加起来。冲激函数的幅度还是没变的。所以，就很乐。
而由于$f(t)$本身又是虚指数信号的线性组合，对于虚指数信号，我们知道零状态响应会有特殊的公式，所以$y(t)$直接就是：
③某稳定因果的连续线性离散系统，其系统函数为$H\left( z \right) =\frac{1}{z^2\left( z-0.5 \right)}$ ，求单位序列响应$h(k)$
解：单位序列响应和系统函数是一个变换对，我们只需求原函数即可。正常的思路是注意到系统函数是一个阶跃信号右移三次产生的，尺度变换为1/2 。然后就得出了答案：
而我这里把它拿出来，有几个小目的，第一个是为了锻炼一下计算能力，第二个是要排除一些错误的刻板印象。在书上教到部分分式展开求逆$z$变换时，往往会对$F(z)/z$进行展开，这样大多数时候分解后会得到一个方便的阶跃变换对。而这种惯性思维有时会阻碍我们对知识的进一步理解，实际上：
这是移位性质的直接应用，我们现在用这个，基于部分分式展开，练习一下计算：
逆变换后：
④判定：$y\left( t \right) =\left| f\left( t \right) -f\left( t-1 \right) \right|$ 的因果性，时变性，线性。
解：我们一项一项的看，因果性说的是，当$f(t)=0,t<0$时，是否有$y(t)=0$，若有则是因果的，反之则是反因果的（响应先于激励发生）。
设$f(t)=0,t<0$,则$f(t-1)=0$ ，可知$y\left( t \right) =\left| f\left( t \right) -f\left( t-1 \right) \right| \equiv 0$恒成立，它是因果性的。
时变性即验证$f(t-t_0)$能否推出$y(t-t_0)$ ，换句话说，即进入系统和时移两者能否对换。这里指出，一般两种情形会带来时变，第一是各项系数出现与时间有关的量，例如$t,\mathrm{sin}(t)$等。第二种是$f(-t)$，这种形式的激励会直接导致不满足时变性，例如形如：
(PS:即使积分上限是$1+2t$也是时变的，读者自证不难。)
这会直接导出$y\left( t-t_0 \right) \rightarrow f\left( -t+t_0 \right) \ne f\left( -t-t_0 \right) $ 。
我们验证发现它也是满足时不变性的。
至于线性，我们在高等代数中验证过许多次了，这里就不作赘述了。
⑤图示某离散$LTI$因果系统的信号流图：
(1)求系统函数$H(z)$
(2)写出输入输出之间的差分方程
(3)判断该系统是否稳定
解：依次写出回路增益，以及互不接触的回路增益的乘积：
一般互不接触的只有两两互不接触的，之后列写特征行列式，以及找出前向增益和其子行列式：
由梅森公式：
由$Y(z)=H(z)F(z)$，展开得：
作逆$z$变换：
对于离散因果系统，我们考虑它极点的位置，若都在单位圆内，说明系统是稳定的。（这一段说来话长了，还是有点故事的。）
（顺带一提这张图中间其实就是信号最后一章状态方程的建立）
求极点，得一对共轭复根都在单位圆外，系统不稳定。
⑥电路如图所示，原已稳定，$t=0$将开关$S$由1打到2，求之后的$u_0(t)$:
我很不喜欢这个，实际上这个只是套了个皮，本质上是个电路分析，我一般只记微分式变化的，因为那样简单，老记积分的version容易错。
显然初始状态：$i_L\left( 0_- \right) =1\mathrm{A},u_C\left( 0_- \right) =2\mathrm{V}$ ，当$t\geqslant 0$时，$u_S(t)=2\varepsilon(t)\mathrm{V}$ 。然后我们就开始列写式子嗷：
解得：
得：
⑦设因果序列$f(k)$满足方程：
解出序列$f(k)$
解：这个是基本$z$变换的性质，注意到左边的部分和，可以看成$\varepsilon(k-1)$与其卷积，分析得：
右侧道理是一样的，至于$k\varepsilon(k)$应用$z$域微分：
右端得：
所以$F(z)$为：
用熟悉的部分分式展开，得逆变换为：
⑧已知象函数$F\left( z \right) =\frac{z^2}{\left( z+1 \right) \left( z-2 \right)}$ ，其收敛域分别为$|z|>2,|z|<1,1<|z|<2$ ，求其原函数。
解：在之前的整理中，我忽略了收敛域的问题，因为第一这一部分没那么有趣，第二是考核中比较少。实际上，$z$变换就是洛朗级数，不同收敛域下的洛朗级数不唯一，在复变函数中我们有定理来保证，在不同收敛域下我们可以构造收敛的泰勒级数，来构造出洛朗级数的闭式解。在那块会对常用级数求和有着一定要求，但在这里倒不用，我们只需知道一个重要的变换对：
$z$变换中的正幂项是反因果部分，构造$-\varepsilon \left( -k-1 \right)$ 有助于我们作部分分式展开后，在$|z|<1$时构造闭式解。有了这个基础上述问题就很好表达了：
当$|z|>2$时，序列是因果序列，得$f\left( k \right) =\left[ \frac{1}{3}\left( -1 \right) ^k+\frac{2}{3}\left( 2 \right) ^k \right] \varepsilon \left( k \right) $
当$|z|<1$时，序列是反因果序列，得$f\left( k \right) =\left[ -\frac{1}{3}\left( -1 \right) ^k-\frac{2}{3}\left( 2 \right) ^k \right] \varepsilon \left( -k-1 \right) $
当$1<|z|<2$时，序列收敛于一个圆环：$f\left( k \right) =\frac{1}{3}\left( -1 \right) ^k\varepsilon \left( k \right) -\frac{2}{3}\left( 2 \right) ^k\varepsilon \left( -k-1 \right) $
