这一篇仍然是个插曲，是用来记录一些琐碎的信号与系统课内的知识…应该跟傅里叶变换关系不大，只是为了顺着写就这么写辣
这些查漏补缺是概念将会通过一些检索来的题目进行串联：
①已知系统输入$x(n)=\varepsilon(n-2)-\varepsilon(n-6)$,单位样值响应$h(n)=x(-n)$,求$y(n)=x(n) \ast h(n)$
解：这是在计算离散系统中的卷积和，我们有两种作法，由于$x(n),h(n)$是可列写的，我们可以用不进位乘法来得到答案：
第二种方法就是利用定义和卷积的性质：
$x(n)=\varepsilon(n-2)-\varepsilon(n-6)$，对于$h(n)$，我们直接写出$h(n)=\varepsilon(-n-2)-\varepsilon(-n-6)$，而实际上$h(n)$可以写作$\varepsilon(n+5)-\varepsilon(n+1)$，可以狭隘的理解成$\varepsilon(n)$在0处是1，所以当$h(n)$这种门形序列翻转后，要右移一位。
同时我们知道$\varepsilon(k) \ast \varepsilon(k)=(k+1)\varepsilon(k)$
那样直接计算：
这样也可。
②已知$LTI$连续系统微分方程为$y’\left( t \right) +2y\left( t \right) =f’’\left( t \right) $ ，计算该系统的单位冲激响应$h(t)$：
解决这种问题要利用$LTI$系统的性质，我们利用$LTI$的微分特性，先构造一简单系统使得：
同样，我们要知道，当系统方程右侧出现冲激函数时，左端最高阶导数含冲激，次高阶跃变，再低阶连续。
当$t>0$时，冲激消失，则带入初始值，齐次一阶线性微分方程的解为$y=e^{-2t}\varepsilon(t)$，则题目所求的$h(t)$即对$e^{-2t}\varepsilon(t)$求二阶导数。得：
③计算积分：
这个积分，不讲武德，本来就是个迪利克雷积分了，还平方。正确的解决姿势是将其看作一个$f(t)$的傅里叶变换在$\omega=0$时候的值，所以我们需要求出这个$f(t)$的频谱密度函数$F(j\omega)$：
由频域卷积定理：
由常用的变换对：
④某因果线性时不变系统，当输入信号为$f_1\left( t \right) =e^{-3t}\varepsilon \left( t \right)$，系统的零状态响应为$y_1(t)$，当输入信号为$f_2\left( t \right) =\frac{\mathrm{d}f_1\left( t \right)}{\mathrm{d}t}+3\int_{-\infty}^t{f_1\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau}$时，系统的零状态响应为$y_2\left( t \right) =-4y_1\left( t \right) +e^{-2t}\varepsilon \left( t \right) $ 。求该系统的冲激响应$h(t)$
解：这同样是利用$LTI$系统的性质，但我仍然很惊讶于这个问题为什么必定解的出来（后面我会写出来）
第一种方法是利用$LTI$的微分和积分性质，即：
那么$y_2(t)$由微分积分性质可得：
由题目已知条件联立得：
整理后两边求导，这样消去含积分的项：
问题得到了些许解决，因为我们知道$y_1\left( t \right) =f_1\left( t \right) \ast h\left( t \right) $，我们将两式联立，这里要用到卷积的微分和积分性质：
积分性质要注意使用条件，即$f_1\left( -\infty \right) =f_2\left( -\infty \right) =0$，这样才能保证微分积分后仍能还原到$f_1(t),f_2(t)$，我们要作的是微分运算，所以不涉及这个条件。
计算后$f_{1}^{‘’}\left( t \right) +4f_{1}^{‘}\left( t \right) +3f_1\left( t \right) =\delta ‘\left( t \right) +\delta \left( t \right) $，这就是巧合的地方，如果这个式子求出来不是冲激函数或者它的导数们，那么往下就很难进行了。因为是，所以利用卷积的性质，很容易得：
$h\left( 0_- \right) =0$，由积分法，可以得$h\left( 0_+ \right) =1$。最后解这个微分方程，记得加上特解。得：
⑤记得写$t>0(\varepsilon(t))$，正因为这个巧合，直接由卷积积分列写$y_1(t),y_2(t)$最终也可以得到答案。很怪，可能是有意而为之。
某$LTI$因果系统，输入输出间的微分方程为：
(1)求该系统的冲激响应$h(t)$
(2)$f(t)=t \varepsilon(t),y(0_+)=1,y^{‘}(0_+)=3$，求该系统的零输入响应$y_{zi}(t)$和零状态响应$y_{zs}(t)$。
解：(1)为了求解冲激响应，我们将$f(t)=\delta(t)$带入微分方程中，发现含有奇异函数的高阶导数。由待定系数法，我们有：
匹配系数得：
作积分法：
当$t>0$后，冲激函数等奇异函数的作用消失，由特征根法得：
由$A=1$，得最后的$h(t)$为：
同样，我们也可以利用$LTI$系统的性质，构造一个简单系统$y_1(t)$，直接解一个简单系统：
此时两边积分很容易得$0_+$时的值：
易得$h_1\left( t \right) =\left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \varepsilon \left( t \right) $，之后的$h(t)$根据方程右端：
(2)由于(1)中计算了冲激响应，一定有人想直接用卷积公式算零状态响应，但是这其实并不方便。简便程度上不如直接解，一定要注意给的初始状态$y(0_+)=1,y^{‘}(0_+)=3$。因为右端有奇异函数，所以零输入和零状态所代入的初始状态要小心：
对于零输入响应，我们要用$0_-$时的初始值：
对于零状态响应，初始值为0，但要注意，这个初始值为0是说$0_-$时候是零，如果有冲激函数，我们仍然要按照积分法来确定$0_+$时的值。并且要加上特解，当$t>0$后，右端是个常数，特解也是个常数。可得$y_p=-1$：
⑥已知某$LTI$离散系统的输入：
其零状态响应为：
求系统的单位序列响应$h(k)$：
解：这是一个离散的系统，我们先进行列写：
根据卷积积分，得：
然后忽然就得到了这么一个差分方程，求特征根，这里要写的仔细一些：
由于我们一般手算的系统最多不超过二阶，一对共轭复根的情况有时会遇到。在这里连续型和离散型的某些形式并不完全一样，这里略去推导直接给出来罢：
| 连续 | 离散 |
|---|---|
| $e^{\alpha t}\left[ C\cos \left( \beta t \right) +D\sin \left( \beta t \right) \right] $ | $\rho ^k\left[ C\cos \left( \beta k \right) +D\sin \left( \beta k \right) \right] $ |
| $\lambda_{1,2}=\alpha \pm j\beta $ | $\lambda_{1,2}=a\pm jb=\rho e^{\pm j\beta}$ |
要注意那个$\beta$，离散情况下，是共轭复根化成指数形式后的$\beta$。
递推得：
