这一篇仍然是个插曲，是用来记录一些琐碎的信号与系统课内的知识…应该跟傅里叶变换关系不大，只是为了顺着写就这么写辣
这些查漏补缺是概念将会通过一些检索来的题目进行串联：
①已知系统输入x(n)=ε(n−2)−ε(n−6),单位样值响应h(n)=x(−n),求y(n)=x(n)∗h(n)
解：这是在计算离散系统中的卷积和，我们有两种作法，由于x(n),h(n)是可列写的，我们可以用不进位乘法来得到答案：
第二种方法就是利用定义和卷积的性质：
x(n)=ε(n−2)−ε(n−6)，对于h(n)，我们直接写出h(n)=ε(−n−2)−ε(−n−6)，而实际上h(n)可以写作ε(n+5)−ε(n+1)，可以狭隘的理解成ε(n)在0处是1，所以当h(n)这种门形序列翻转后，要右移一位。
同时我们知道ε(k)∗ε(k)=(k+1)ε(k)
那样直接计算：
y(n)=x(n)∗h(n)=[ε(n−2)−ε(n−6)]∗[ε(n+5)−ε(n+1)]=(n+4)ε(n+3)−2nε(n−1)+(n−4)ε(n−5) 这样也可。
②已知LTI连续系统微分方程为y′(t)+2y(t)=f″(t) ，计算该系统的单位冲激响应h(t)：
解决这种问题要利用LTI系统的性质，我们利用LTI的微分特性，先构造一简单系统使得：
y′1(t)+2y1(t)=f(t)f(t)=δ(t) 同样，我们要知道，当系统方程右侧出现冲激函数时，左端最高阶导数含冲激，次高阶跃变，再低阶连续。
y1(0+)−y1(0−)=1,y1(0−)=0y1(0+)=1 当t>0时，冲激消失，则带入初始值，齐次一阶线性微分方程的解为y=e−2tε(t)，则题目所求的h(t)即对e−2tε(t)求二阶导数。得：
h(t)=h″1(t)=[δ(t)−2e−2tε(t)]′=δ′(t)−2δ(t)+4e−2tε(t) ③计算积分：
∫+∞−∞[sin(100t)t]2dt 这个积分，不讲武德，本来就是个迪利克雷积分了，还平方。正确的解决姿势是将其看作一个f(t)的傅里叶变换在ω=0时候的值，所以我们需要求出这个f(t)的频谱密度函数F(jω)：
由频域卷积定理：
f1(t)⋅f2(t)⟷12πF1(jω)∗F2(jω) 由常用的变换对：
gτ(t)↔2ωsin(ωτ2)2tsin(tτ2)↔2πgτ(ω)→sin(100t)t↔πg200(ω)12π[πg200(ω)∗πg200(ω)]=π2[ε(ω+100)−ε(ω−100)]∗[ε(ω+100)−ε(ω−100)]=π2[(ω+200)ε(ω+200)−2ωε(ω)+(ω−200)ε(ω−200)]F(j0)=100π ④某因果线性时不变系统，当输入信号为f1(t)=e−3tε(t)，系统的零状态响应为y1(t)，当输入信号为f2(t)=df1(t)dt+3∫t−∞f1(τ)dτ时，系统的零状态响应为y2(t)=−4y1(t)+e−2tε(t) 。求该系统的冲激响应h(t)
解：这同样是利用LTI系统的性质，但我仍然很惊讶于这个问题为什么必定解的出来（后面我会写出来）
第一种方法是利用LTI的微分和积分性质，即：
T[{0},df(t)dt]=dyzs(t)dtT[{0},∫t−∞f(x)dx]=∫t−∞yzs(x)dxf(−1)(t)=∫t−∞f(x)dx 那么y2(t)由微分积分性质可得：
y2(t)=y′1(t)+3y(−1)1(t) 由题目已知条件联立得：
y2(t)=−4y1(t)+e−2tε(t)−4y1(t)+e−2tε(t)=y′1(t)+3y(−1)1(t) 整理后两边求导，这样消去含积分的项：
y″1(t)+4y′1(t)+3y1(t)=δ(t)−2e−2tε(t) 问题得到了些许解决，因为我们知道y1(t)=f1(t)∗h(t)，我们将两式联立，这里要用到卷积的微分和积分性质：
f(1)(t)=f(1)1(t)∗f2(t)=f1(t)∗f(1)2(t)f(−1)(t)=f(−1)1(t)∗f2(t)=f1(t)∗f(−1)2(t) 积分性质要注意使用条件，即f1(−∞)=f2(−∞)=0，这样才能保证微分积分后仍能还原到f1(t),f2(t)，我们要作的是微分运算，所以不涉及这个条件。
h(t)∗[f″1(t)+4f′1(t)+3f1(t)]=δ(t)−2e−2tε(t) 计算后f‘′1(t)+4f‘1(t)+3f1(t)=δ‘(t)+δ(t)，这就是巧合的地方，如果这个式子求出来不是冲激函数或者它的导数们，那么往下就很难进行了。因为是，所以利用卷积的性质，很容易得：
h′(t)+h(t)=δ(t)−2e−2tε(t) h(0−)=0，由积分法，可以得h(0+)=1。最后解这个微分方程，记得加上特解。得：
h(t)=(2e−2t−e−t)ε(t) ⑤记得写t>0(ε(t))，正因为这个巧合，直接由卷积积分列写y1(t),y2(t)最终也可以得到答案。很怪，可能是有意而为之。
某LTI因果系统，输入输出间的微分方程为：
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f″(t)−2f′(t) (1)求该系统的冲激响应h(t)
(2)f(t)=tε(t),y(0+)=1,y‘(0+)=3，求该系统的零输入响应yzi(t)和零状态响应yzs(t)。
解：(1)为了求解冲激响应，我们将f(t)=δ(t)带入微分方程中，发现含有奇异函数的高阶导数。由待定系数法，我们有：
h″(t)=Aδ″(t)+Bδ′(t)+Cδ(t)+r0(t)h′(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+r1(t)h(t)=Aδ(t)+r2(t) 匹配系数得：
{A=1B+3A=−2C+3B+2A=0→{A=1B=−5C=13 作积分法：
h′(0+)−h′(0−)=13,h(0+)−h(0−)=−5h′(0+)=13,h(0+)=−5 当t>0后，冲激函数等奇异函数的作用消失，由特征根法得：
{C1+C2=−5−2C1−C2=13→{C1=−8C2=3 由A=1，得最后的h(t)为：
h(t)=δ(t)+(−8e−2t+3e−t)ε(t) 同样，我们也可以利用LTI系统的性质，构造一个简单系统y1(t)，直接解一个简单系统：
y″1(t)+3y′1(t)+2y1(t)=δ(t) 此时两边积分很容易得0+时的值：
h′1(0+)=1,h(0+)=h(0−)=0 易得h1(t)=(e−t−e−2t)ε(t)，之后的h(t)根据方程右端：
h(t)=h″1(t)−2h′1(t)=δ(t)+(3e−t−8e−2t)ε(t)(2)由于(1)中计算了冲激响应，一定有人想直接用卷积公式算零状态响应，但是这其实并不方便。简便程度上不如直接解，一定要注意给的初始状态y(0+)=1,y‘(0+)=3。因为右端有奇异函数，所以零输入和零状态所代入的初始状态要小心：
y″1(t)+3y′1(t)+2y1(t)=δ(t)−2ε(t)y′1(0+)−y′1(0−)=1,y(0+)−y(0−)=0y′1(0+)=3,y′1(0−)=2,y(0+)=y(0−)=1 对于零输入响应，我们要用0−时的初始值：
yzi(t)=Czi,1e−2t+Czi,2e−t(t>0){Czi,1+Czi,2=1−2Czi,1−Czi,2=2→{Czi,1=−3Czi,2=4yzi(t)=(−3e−2t+4e−t)ε(t) 对于零状态响应，初始值为0，但要注意，这个初始值为0是说0−时候是零，如果有冲激函数，我们仍然要按照积分法来确定0+时的值。并且要加上特解，当t>0后，右端是个常数，特解也是个常数。可得yp=−1：
yzs(t)=Czs,1e−2t+Czs,2e−t−1(t⩾0+){Czs,1+Czs,2−1=0−2Czs,1−Czs,2=1→{Czs,1=−2Czs,2=3yzi(t)=(−2e−2t+3e−t−1)ε(t) ⑥已知某LTI离散系统的输入：
f(k)={1,k=02,k=1,20,else 其零状态响应为：
y(k)={0,k<09,k⩾0 求系统的单位序列响应h(k)：
解：这是一个离散的系统，我们先进行列写：
f(k)=δ(k)+2δ(k−1)+2δ(k−2)y(k)=9ε(k) 根据卷积积分，得：
h(k)+2h(k−1)+2h(k−2)=9ε(k) 然后忽然就得到了这么一个差分方程，求特征根，这里要写的仔细一些：
λ2+2λ+2=0λ1,2=−1±1i 由于我们一般手算的系统最多不超过二阶，一对共轭复根的情况有时会遇到。在这里连续型和离散型的某些形式并不完全一样，这里略去推导直接给出来罢：
| 连续 | 离散 |
|---|---|
| eαt[Ccos(βt)+Dsin(βt)] | ρk[Ccos(βk)+Dsin(βk)] |
| λ1,2=α±jβ | λ1,2=a±jb=ρe±jβ |
要注意那个β，离散情况下，是共轭复根化成指数形式后的β。
λ1,2=√2e±j34πh(k)=(√2)k[Ccos(34πk)+Dsin(34πk)] 递推得：
h(−1)=h(−2)=0h(0)=9,h(1)=−9{C+95=9√2(√22D−√22C)+95=−9C=365,D=−185h(k)=(√2)k[365cos(34πk)−185sin(34πk)]+95
v1.5.2