由于种种原因之前写的内容等寒假再补齐，现在先恶补期末考试，这里直接接数理统计部分了。
数理统计部分书上写的非常的冗长，这里对其中的内容进行一些压缩和个人理解，其实它所讲的故事是：这里有一个总体$X$，我可能清楚它的分布，但我不可能获取$X$的所有内容，我只能作部分抽样，获得一组样本值，即管中窥豹，但是我要尽可能多的从这么一组样本值里来获得总体$X$的信息，这就是我们要理解的内容。下面用一个例子来帮助理解上面的说法。
利用计算机生成1000个满足0~1正态分布的随机数，我们发现它们满足这样的概率密度分布，它们每个的取值可以看横坐标，也就是说我们抽样后，可能只是拿到了一组类似1.31，1.29，0.31，0.22，0.01这样的值，但一般的时候我们都是知道数据分布的（大数定律作支撑），所以我们许多时候认为数据符合正态分布，并期望通过已有的样本获取尽可能准确的$\mu \text{，}\sigma ^2$ 。
例如我们已经知道$X$服从0~1正态分布，并且获得了如下的数据：
我们对它们求平均数，我们一直以来都是这么干的，求出值为$0.0162$，根据我们知道的方差公式，我们会计算出：
这已经非常准确了，如果我们抽取更多的样本，比如1000个，结果会更加精确，以及其他$k$阶中心距也可以直接套用我们熟悉的方式计算。这都和我们的第一直觉相差不多，但只有一个例外：
这是在抽取不同大小的样本时计算出的方差，当抽取样本较大的时，这个结果在1附近震荡，但实际上有上面杂乱曲线是两条曲线，其中一条是按照分母为$n$计算的，另一个是$n-1$，确实它们的差异相当的小，但是如果计算它关于标准方差的误差平方和，会发现后者大多数时都小于前者。所以以后我们计算样本方差时分母都使用$n-1$。后面我们会给出原因，实际上上面做的实验是不严谨的，下面为了不与我们之前的认识混淆，我们要声明以下概念：
设$X_1,X_2,…,X_n$为来自总体$X$的一个样本，$x_1,x_2,…,x_n$是$X_1,X_2,…,X_n$的样本值，值得注意的是，$X_1,X_2,…,X_n$也是随机变量，后面会用到：
样本均值及其样本值：
样本方差及其样本值：（标准差只需开个根号）：
在此基础上，要引入一个比较显然的定理：样本均值的期望等于总体期望，样本均值的方差等于总体方差除以$n$，样本方差的的均值等于总体方差，写成公式就是说：
注意，样本均值，样本方差的期望和方差是其作为随机变量的属性，我们利用计算机模拟加以理解：
可以看出，它们对样本真实属性的估计，至于样本均值的方差为什么是总体方差除以$n$，不加计算可以这么理解：多次抽样获得的样本均值，一定程度上削弱了样本的波动性，削弱了多少则需要进行推导。
详细证明见课本，这里从略了。上面的三个定理在后面经常会用到。
但是实际上我们刚才的例子都是说，在已经知道分布是正态分布的情况下，我们作的推断，等等，而实际上，在真实情境中，我们只是“估计”总体是个正态总体，并不是百分百确定（这里涉及正态性检验，先略去），所以与其关注于所谓精确的分布，不如关心由已知量构成的那些分布，这里的已知量指的就是上面的统计量。
首先要介绍四个基础的分布，本着备考的原则，个人建议没必要纠结每一个基础分布的概率密度函数等细节，只要知道它们的定义即可，因为它们的具体推导需要另一些基础知识，在前面的学习中一般都略去了，如果有时间我后面将会整理出来。（主要是许多分布之间的关系）
①标准正态分布：$N\sim\left( 0,1 \right) $
它的概率密度函数还是要记得的：
②卡方分布：$\chi ^2\ \sim \chi ^2\left( n \right) $
设随机变量$X_1,X_2,…,X_n$相互独立且同服从标准正态分布$N(0,1)$，则称：
的分布为服从自由度$n$的卡方分布，记为$\chi ^2\text{-}\chi ^2\left( n \right) $
这里我们只需要对独立的随机变量相加这个事情有概念就好了，实际上它可以被视作一种卷积。下面的几种分布也是基于随机变量间的“加减乘除”，如果记的不清可以翻前面的章节。我们只需将它记为“$n$个符合正态分布的随机变量的平方的加和”。
③$t$分布：$T\ \sim t(n)$
设随机变量$X\text{-}N(0,1),Y\text{-}\chi^2(n)$，且$X,Y$相互独立，则：
为服从参数$n$的$t$分布。
④$F$分布：$F\ \sim F(n_1,n_2)$
设随机变量$X\text{-}\chi^2(n_1),Y\text{-}\chi^2(n_2)$，且$X,Y$相互独立，则：
称其为服从参数$(n_1,n_2)$的$F$分布。
这四种分布因为在前人的研究和探索中，发现它们很常见或有意义，所以发展至今，这里建议把它们从公式“字面意义”上理解成由正态分布引发的随机变量的复合。
后面在我校的教材上，通过这四大分布又引出了“八大分布”，非常的不利于接受，现在以一种更合理的角度重新给出。
首先给出三大抽样分布定理：
（首先要补充的是，正态分布的线性组合仍是正态分布）
设$X_1,X_2,…,X_n$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^2)$，则：
(1)是显然的，因为各个样本也服从$N(\mu,\sigma^2)$，所以它们的线性组合$\bar X$也服从$N(\mu,\sigma^2)$，这正是上面提到的那个“显然的定理”，即：
所以有：
去均值除标准差即有了（1）
（2）和（3）并不显然，我校教材上并没有证明，但这个证明是必要的，否则很不便于后面的理解：
直接计算：
上面的过程很长，实际上就是将要证明的式子展开成一个$n$元二次型。
将上面这个二次型的矩阵记为$A$，$A$是一个实对称矩阵，那么可以将其对角化：
$B$将是一个对角线为$A$的特征值的对角矩阵，$T$为正交化单位化的特征列向量组成的矩阵。求$A$的特征多项式，得到它的特征值为$\lambda _1=0,\lambda _2=…=\lambda _n=1$，我们对$X$施以线性变换$T$，则二次型矩阵$A$将变为$B$，$B$除了对角线上有$n-1$个1外其余全是0，则变换后的形式即为：
其中随机变量$Y$服从$N(0,\sigma^2)$，分母上除以$\sigma^2$后结论即得到了证明，这个并不显然，下面作一些注解：
当$\lambda_n=1$时，$A-\lambda_nI$经过行初等变换可化为：
解右边的齐次线性方程组得到$n-1$个特征向量，它们分别是：
当$\lambda=0$时，同样，矩阵$A-\lambda I$进行初等变换后，求解齐次线性组得到特征向量。齐次线性方程组只有一个解，即特征向量$\alpha _n=\left( 1,1,…,1 \right) ^T$。
对这$n$个特征向量作施密特正交化处理，对于已经快忘了线性代数的同学来说计算比较困难，计算过程这里就略去了，计算后我们会发现，构成的正交阵$T$是：
所以进行正交变换后，即：
最后那一项正好由于主对角线上的唯一的一个0消去了，所以上面的结论就得到了证明。
同样我们可以计算$Y_i$与$\bar X$的协方差，自然发现它们全为零，所以独立也得到了证明，至此我们就完成了对抽样分布定理证明。
下面对于其他分布的证明，就简单了许多：
这两个与前面的三大抽样分布定理结合起来，就形成了书上说的关于单正态总体的四大分布。
后面是双正态总体的四大分布，道理是一样的：
双正态总体时：$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y,\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，（样本容量分别为$n_1,n_2$）：
上面的公式的推导看起来非常的繁琐，其实相对简单，均是一些直接的应用，可能会有两点没有提及到，这里补充一下：
①卡方分布具有可加性，即$\chi ^2\left( n_1+n_2 \right) \sim \chi ^2\left( n_1 \right) +\chi ^2\left( n_2 \right) $
②$F$分布：$\frac{1}{F\left( n_1,n_2 \right)}\sim F\left( n_2,n_1 \right) $
这八个分布要非常熟悉，最好看一遍上面的推导过程，对后续理解置信区间，假设检验有很大的帮助。
