为了应付期中考试,要预习大学物理了。由于大物只是个凑学分的课,所以不会纠的太深,能过个考试就得了。
其实第十章和第十一章的内容可以被总结的十分简洁,先从第十章开始。首先我们要对库仑定律进行改写:
F=kq1q2rr3=q1q2r4πε0r3F=kq1q2rr3=q1q2r4πε0r3 也就是我们将高中学的静电力常数kk改写成一个别的形式,这个形式是由高斯定理得来的,证明需要用到立体角,我们不必关心具体细节,在这里ε0≈8.85×10−12C2⋅N−1⋅m−2ε0≈8.85×10−12C2⋅N−1⋅m−2。
并且在以后的一些表达式里,会更多的将表达式写成矢量式的形式,因为这样才是规范的,但在实际上应付考试和写作业的时候,由于处理的问题都很简单,其实……没啥太大的必要。
电场强度的定义与高中完全相同,这里引入一种说法:电偶极子。
说的是高中时经常遇到的两个大小相等的异号点电荷+q,−q+q,−q相距ll,要计算的电场强度的各场点相对这一对电荷的距离r≫lr≫l时,这样一对点电荷称为电偶极子。这个定义十分的形象,

利用平行四边形法则可以计算出:
Ep=2cosαE+/−=2l/2√r2+l2/414πε0qr2+l2/4Ep=14πε0qlr3(1+l24r2)32 考虑到在此时(1+l24r2)32≈1,且注意到,我们实际上是定义了l,E的方向,且它们的方向是相反的,则可以定义p=ql。
这样公式可以简化成:
E=14πε0pr3 但对于很多时候的带电体,电场强度都需要利用矢量积分来求解,将矢量积分转化为标量积分然后求解。下面举一个可以延伸到很多种情形的例子。<下面不加特殊说明,q代表带电体总电量,λ,σ,ρ依次代表电荷的线密度,面密度,体密度>

首先要处理右边的细圆环时的情形,由于对称性,zOy平面的电场强度分量互相抵消,只需计算Ox方向。在下面的介绍中我们均认为带电体电荷分布均匀,这是一个理想化的做法。那么对于圆环,可以得:
Ering=∫dEx=14πε0∫cosθr2dq=14πε0qcosθr2=14πε0qx(R2+x2)32 有了这个前置结果,对于左侧的同心圆环带电体,自然可以将其看作若干细圆环的叠加,则有:
dq=2πrσdr,σ=qπ(R22−R21)dE=14πε0dqx(R2+x2)32=xσ2ε0rdr(r2+x2)32E=∫dE=xσ2ε0∫R2R1rdr(r2+x2)32=xσ2ε0(1√R21+x2−1√R22+x2) (这里复习一下换元积分法,其实也能直接看出原函数。)
r=xtanθ,dr=xsec2θdθxσ2ε0∫R2R1rdr(r2+x2)32=σ2ε0∫θ2θ1sinθdθ,θ1=arctanR1x,θ2=arctanR2x=xσ2ε0(1√R21+x2−1√R22+x2) 分析得到的结论,实际上当改变R1,R2的值,会得到一些其他的结论:
①当R1=0,R2→∞时,可以认为是无限大均匀平板,场强公式为
E=σ2ε0 ②当R2→∞,认为是有孔的无限大平板。场强公式为
E=xσ2ε01√R21+x2 ③当R2−R1=O(R),认为是细圆环,由导数定义,场强公式退化为
g(R)=1√R2+x2,g′(R)=−R(R2+x2)321√R21+x2−1√(R1+ΔR)2+x2=−g′(R1)ΔR=R1ΔR(R21+x2)32σ=qπ((R1+ΔR)2−R21)=q2πR1ΔRE=x2ε0q2πR1ΔRR1ΔR(R21+x2)32=14πε0qx(R21+x2)32 和之前的结果是一致的。
还有一个比较重要的理想模型是均匀带电直线杆

由于θ1,θ2并没有给出特殊关系,所以对称性不能得到保证。所以要分x,y方向计算。
dq=λdydE=14πε0λdyr2,r2=a2+y2=a2csc2θy=−atanθ=−acotθ,dy=acsc2θdθdE=14πε0λdyr2=14πε0aλdθdEx=dEsinθ,dEy=dEcosθEx=∫θ2θ114πε0aλsinθdθ=14πε0a(cosθ1−cosθ2)Ey=∫θ2θ114πε0aλcosθdθ=14πε0a(sinθ2−sinθ1) 许多时候是考虑当杆无限长时,此时积分上下限变为π,0。得到较为有用的结论:
Ex=λ2πε0a,Ey=0 以圆环和直杆的结果出发可以求解多种几何体的电场强度,后面还会有另一种简洁的求电场强度的方法,在此就从略了。

今天先写到这里,以后有空把一些可以可视化的作出来,上面是等量同种电荷和不等量同种电荷的图像,我希望我的高中老师在我上高中的时候也能画出这个来给我们看,但很遗憾他没有。
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