七夕和我这个死宅没有什么关系，但第一次培训作业终于是写完了。太阳影子定位的命题不复杂，求解也比较简单，但是还是挖掘到了一些有用的内容，透视变换和费马原理。
透视变换
太阳影子定位的问题四要求我们从给定的一段40分钟视频中获取影子长度的信息，再反演出可能位置。这里就涉及到了透视变换。
由于高中立体几何的影响和我们潜意识的惯性思维，我们现在设想一个正方体，我们会作出这样的一个图形（左），但实际上它应该是（右）
因为左边的直接用坐标行而有效的表示，更能体现出一个几何体的特点，所以我们都很习惯这种表示。但在实际情况中，如果观察一个正方体，它的情况确实是右边的样子，如果拍成右边那样的照片，量取上面的各个边，会发现他们的长度并不都相等。
这个原理很简单，但是有意思的地方在于：当你真的习惯用坐标系来度量的时候，你拿起一个正方体，各个视角的观察，你眼睛接受的图像，还是传递给你一种他们“边长”都相等的错觉，即使如果把此时你看到的景象拍下来，用尺子量，确实是不相等的。问题就在于，原本在立方体的平行的结构，在三维的空间上，它们两条线的平行关系是会延申到无限远的，但是由于图片是二维的，在二维中会产生信息的损失，就像铁轨在远处看去汇聚成一点一样，在图片上看上去，它们不再是“平行”的，这个汇聚的点在相关领域被称为“消失点”，消失点所在的一条与视角平行的线称为“视平线”。
知道这个以后我们来修正视频中的影长，如果我们仅仅根据已知信息，计算图中的杆顶和杆底的在像素坐标系下的距离，得到缩放系数，然后根据同样的道理计算影长，这样会带来不小的误差，我们现在试图来进行修正。这就像对于正方体而言，如果你只注意它离你最近的面，只要它的视位面对于拍出来的图片的视线是垂直的，那么它就是没有被扭曲的。
但是我们如何实际的办到这一点呢，我是说，我们非常熟悉对一个图片进行各种操作，比如平移，拉伸，旋转，在这里我可就要讲一下我两学期拉跨的高等代数了嗷！
实际上对于二维的坐标变换，它的完整形式是对于(x,y,w)进行形如如下的变换:
最后$x’=\frac{u}{w’},y’=\frac{v}{w’}$才是完整变换后的坐标
这里为什么要引入z=w这个虚量呢，实际上这一步被称为齐次化处理，因为我们能想到的平移并不能写成一个向量与矩阵的乘积的形式（可以证明，平移变换和透视变换不是线性变换），但是齐次化处理后就不会有这样的问题。这个变换被称为透视变换，是用来处理二维平面上图像的。
如果单独拿出$T_1$，这就是我们常说的仿射变换，它只包含旋转，翻折，缩放。
所以我们的思路是，只要我们确定好透视变换矩阵$T$,对整个图片中的所有坐标都如此作用，就可以简单修正误差了。
费马原理
我安排彭师傅做模型的改进，显然光线进入大气层会发生折射现象，但是大气层各处密度不均匀等等，折射率也会有微小的差异，考虑到这一点，为了得到光最终的路径以便求出角度的变化，这里引入了费马原理，费马原理说的是光会沿着光程差最小的路径前进，实际上更精确的表述是对于从P到Q的光线：
实际上我们至多只用考虑一维时的情形，此时光线方程的表达式可以写成一个不定积分的形式：
但这并不是重点，重点是它与一种重要的数学方法：变分法有关，以及和那“最小作用量原理”也有深刻联系（但是后者已经和我关系不大了）但是举一个物理中的例子也是很形象的：
如果我们不考虑空气阻力，扔一个小球，当给定初始的物理状态，我们利用牛顿第二定律可以计算小球的整个运动过程，但是，这里有另外一个观点：为什么从起点到终点的路径那么多，小球只选了这么一条。这实际上就与最小作用量原理有关。
在这里我就省略掉繁琐的数学证明和计算了，最重要的是这个思想，它不仅仅只针对一个函数，而是将可行的所有函数拿来讨论，“以函数为自变量的函数（泛函）”，在此基础上有许多成果，变分法将原来的微分方程问题，转化成一个求泛函极值的问题。比较简单的例子有证明最速降线是摆线以及证明摆线的等时性，再复杂的例子就与我无关了，那是物理专业的事情了。
